Økonomiske modellar 💰💰💰
Intro
Kompetansemål
- analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
- finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene
- modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Forkunnskapar
- funksjonsdrøfting
- nullpunkt
- skjæringspunkt
- ekstremal- og kritiske punkt
- mykje polynomer
- litt \(e\)-ar og logaritmar
- mest kos 😻
Kostnads- og inntektsfunksjonar
Kostnadsfunksjonen
Ei elevbedrift produserer treningsapparat.
La \(x\) vera tal treningsapparat produsert per veke.
- Leiger lokaler til 11 000 kr pr veke.
- Utgifter på 150 kr pr apparat
- Overtid ved stor produksjon
Kostnadsfunksjonen
Ei elevbedrift produserer treningsapparat.
La \(x\) vera tal treningsapparat produsert per veke.
- Leiger lokaler til 11 000 kr pr veke
- fast, \(c=11000\)
- fast, \(c=11000\)
- Utgifter på 150 kr pr apparat
- proporsjonal, \(b=150\)
- proporsjonal, \(b=150\)
- Overtid ved stor produksjon (\(3x^2\))
- overproporsjonal, \(a=3\)
\[K(x)=3x^2+150x+11000\]
Kostnadsfunksjonen
Bedrifta kan maks. produsera 150 apparater i veka.
Dermed får me modellen:
\[K(x)=3x^2+150x+11000\] \[D_K = [0, 150]\]
Tenk
Kor mykje kostar det å produsera eitt apparat?
Kva er den “beste” produksjonsmenga (kun mtp. kostnad)?
Einingskostnad (enhetskostnad)
\[E(x) = \frac{K(x)}{x} \quad \quad \quad \frac{\text{total kostnad}}{{\text{einingar}}}\]
Kostnadsoptimal produksjonsmengd
den produksjonsmengda som gjev lågast einingskostnad.
Med andre ord: \(E(x)\) sitt botnpunkt gjev oss den kostnadsoptimale produksjonsmengda.
Praktisk
\[\begin{align*} K(x)&=3x^2+150x+11000 \\ \end{align*}\]
Praktisk
\[\begin{align*} K(x)&=3x^2+150x+11000 \\ E(x)&= \frac{K(x)}{x} \\ \end{align*}\]
Praktisk
\[\begin{align*} K(x)&=3x^2+150x+11000 \\ E(x)&= \frac{K(x)}{x} \\ &= \frac{3x^2+150x+11000}{x} \\ \end{align*}\]
\[E'(x)=0 \Rightarrow x\approx 60.55\]
Produksjonsmengd på 61 einingar vil gje lågast einingskostnad.
Kostnadsoptimal produksjonsmengd er 61 einingar.
Inntektsfunksjon
Frå før har me at \[K(x)=3x^2+150x+11000, \quad D_K = [0, 150]\] og at \[E(x)=3x+150 + \frac{11000}{x}, \quad \text{der } E(x)=\frac{K(x)}{x}\]
Bedrifta vert einige om at 800 kr er ein grei pris.
I tillegg vil dei gje kvantumsrabatt (kjøpe mange ➡️ bedre pris)
\[p(x) = 800 - 2x\]
Inntektsfunksjon
\[p(x) = 800 - 2x\]
Inntekta blir produktet av pris og tal solgte einingar
Kva er x?
Per no går me ut frå at bedrifta sel alt dei produserer.
Dermed er produksjonsmengda = tal selde einingar.
\(x\) blir dermed både talet på produserte og selde einingar.
Inntektsfunksjonen blir då
\[\begin{align*} I(x)&= p(x)\cdot x \\ &= (800-2x)\cdot x \\ &= 800x-2x^2 \end{align*}\]
Overskot
Overskotsfunksjonen
Kostnadsfunksjonen \[K(x)=3x^2+150x+11000\] Inntekstfunksjonen \[I(x)=800x-2x^2\]
Overskotet finn me ved å finna differansen mellom inntekter og kostnader
\[O(x)=I(x)-K(x)\]
Nokre omgrep
Balanse - dekningspunkt Der \(O(x)=0\). Nullpunkta til \(O(x)\)
Størst overskot - vinningsoptimal produksjonsmengd Der \(O'(x)=0\). Toppunktet til \(O(x)\)
Grensekostnad og grenseinntekt
Grensekostnad
Derivasjon og tangent
Hugs at \(f'(a)\) er momentan vekstfart når \(x=a\).
Momentan vekstfart er det samme som stigningstalet til tangenten.
Dette talet kan brukast som tilnærma verdi for \(f(a+1)\).
\[f(x+1)-f(x)\approx f'(x)\]
Grensekostnad
\[K'(x)\]
endring i kostnad når produksjonen aukar med 1.
Grenseinntekt
\[I'(x)\]
endring i inntekt når produksjonen aukar med 1.
Vinningsoptimal produksjonsmengd
Det er ein samanheng mellom grensekostnad og grenseinntekt.
\[\begin{align*} O(x)&=I(x)-K(x) \\ O'(x)&=0 \end{align*}\]
Dermed får me at
\[\begin{align*} I'(x)-K'(x)&=0 \\ I'(x)&=K'(x) \end{align*}\]
Vinningsoptimal produksjonsmengd når grensekostnaden er lik grenseinntekten.
Samanheng mellom grenseskostnad og einingskostnad
Veit at einingskostnaden er gitt ved \[E(x)=\frac{K(x)}{x}\]
Lågast einingskostnad finn me når \[E'(x)=0\]
\[\Updownarrow\] \[\left(\frac{K(x)}{x}\right)'= 0 \]
Deriverer og ser at
\[\left(\frac{K(x)}{x}\right)'= \frac{K'(x)\cdot x - K(x)\cdot 1}{x^2} = \frac{K'(x)\cdot x - K(x)}{x^2} =0\]
Likninga er 0 når teljaren er 0, dermed får me:
\[\begin{align*} K'(x)\cdot x - K(x) &= 0\\ K'(x)\cdot x &= K(x) \\ K'(x) &= \frac{K(x)}{x} \\ \end{align*}\]
Me har altså vist at ved den lågaste einingskostnaden er \[K'(x) = E(x)\]
Produksjonsmengden som gjev lågast einingskostnad har me når grensekostnaden er lik einingskostnaden
Etterspurnad
Pris heng saman med talet selde varer.
➡️ etterspurnad (etterspørsel)
Etterspurnad
Mange faktorar som speler inn. T.d. - pris - forbrukartestar - trendar
I modellane vidare er antall selde varer = etterspurnad
Brukar ofte \(q\) (quantity).
Ofte etterspurnad som funksjon av pris \[q(p)\]
Etterspurnad
Etterspurnadsfunksjonen \(q(p)\) viser talet varer som vert seld til prisen \(p\).
Inntekt, \(I(p)\), er \[I(p)=q(p)\cdot p\]
Merk: så lenge me går ut frå at talet selde og produserte er det same er \(q\) og \(x\) like store/det same.