Økonomiske modellar 💰💰💰

Torodd F. Ottestad

Intro

Kompetansemål

  • analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
  • finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene
  • modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Forkunnskapar

  • funksjonsdrøfting
    • nullpunkt
    • skjæringspunkt
    • ekstremal- og kritiske punkt
  • mykje polynomer
  • litt \(e\)-ar og logaritmar
  • mest kos 😻

Kostnads- og inntektsfunksjonar

Kostnadsfunksjonen

Ei elevbedrift produserer treningsapparat.
La \(x\) vera tal treningsapparat produsert per veke.

  • Leiger lokaler til 11 000 kr pr veke.
  • Utgifter på 150 kr pr apparat
  • Overtid ved stor produksjon

Kostnadsfunksjonen

Ei elevbedrift produserer treningsapparat.
La \(x\) vera tal treningsapparat produsert per veke.

  • Leiger lokaler til 11 000 kr pr veke
    • fast, \(c=11000\)
  • Utgifter på 150 kr pr apparat
    • proporsjonal, \(b=150\)
  • Overtid ved stor produksjon (\(3x^2\))
    • overproporsjonal, \(a=3\)

\[K(x)=3x^2+150x+11000\]

Kostnadsfunksjonen

Bedrifta kan maks. produsera 150 apparater i veka.

Dermed får me modellen:

\[K(x)=3x^2+150x+11000\] \[D_K = [0, 150]\]

Tenk

Kor mykje kostar det å produsera eitt apparat?

Kva er den “beste” produksjonsmenga (kun mtp. kostnad)?

Einingskostnad (enhetskostnad)

\[E(x) = \frac{K(x)}{x} \quad \quad \quad \frac{\text{total kostnad}}{{\text{einingar}}}\]

Kostnadsoptimal produksjonsmengd
den produksjonsmengda som gjev lågast einingskostnad.

Med andre ord: \(E(x)\) sitt botnpunkt gjev oss den kostnadsoptimale produksjonsmengda.

Praktisk

\[\begin{align*} K(x)&=3x^2+150x+11000 \\ \end{align*}\]

Praktisk

\[\begin{align*} K(x)&=3x^2+150x+11000 \\ E(x)&= \frac{K(x)}{x} \\ \end{align*}\]

Praktisk

\[\begin{align*} K(x)&=3x^2+150x+11000 \\ E(x)&= \frac{K(x)}{x} \\ &= \frac{3x^2+150x+11000}{x} \\ \end{align*}\]

\[E'(x)=0 \Rightarrow x\approx 60.55\]

Produksjonsmengd på 61 einingar vil gje lågast einingskostnad.
Kostnadsoptimal produksjonsmengd er 61 einingar.

Inntektsfunksjon

Frå før har me at \[K(x)=3x^2+150x+11000, \quad D_K = [0, 150]\] og at \[E(x)=3x+150 + \frac{11000}{x}, \quad \text{der } E(x)=\frac{K(x)}{x}\]

Bedrifta vert einige om at 800 kr er ein grei pris.
I tillegg vil dei gje kvantumsrabatt (kjøpe mange ➡️ bedre pris)

\[p(x) = 800 - 2x\]

Inntektsfunksjon

\[p(x) = 800 - 2x\]

Inntekta blir produktet av pris og tal solgte einingar

Kva er x?

Per no går me ut frå at bedrifta sel alt dei produserer.
Dermed er produksjonsmengda = tal selde einingar.

\(x\) blir dermed både talet på produserte og selde einingar.

Inntektsfunksjonen blir då

\[\begin{align*} I(x)&= p(x)\cdot x \\ &= (800-2x)\cdot x \\ &= 800x-2x^2 \end{align*}\]

Overskot

Overskotsfunksjonen

Kostnadsfunksjonen \[K(x)=3x^2+150x+11000\] Inntekstfunksjonen \[I(x)=800x-2x^2\]

Overskotet finn me ved å finna differansen mellom inntekter og kostnader

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Nokre omgrep

Balanse - dekningspunkt Der \(O(x)=0\). Nullpunkta til \(O(x)\)

Størst overskot - vinningsoptimal produksjonsmengd Der \(O'(x)=0\). Toppunktet til \(O(x)\)

Grensekostnad og grenseinntekt

Grensekostnad

Derivasjon og tangent

Hugs at \(f'(a)\) er momentan vekstfart når \(x=a\).
Momentan vekstfart er det samme som stigningstalet til tangenten.
Dette talet kan brukast som tilnærma verdi for \(f(a+1)\).

\[f(x+1)-f(x)\approx f'(x)\]

Grensekostnad

\[K'(x)\]

endring i kostnad når produksjonen aukar med 1.

Grenseinntekt

\[I'(x)\]

endring i inntekt når produksjonen aukar med 1.

Vinningsoptimal produksjonsmengd

Det er ein samanheng mellom grensekostnad og grenseinntekt.

\[\begin{align*} O(x)&=I(x)-K(x) \\ O'(x)&=0 \end{align*}\]

Dermed får me at

\[\begin{align*} I'(x)-K'(x)&=0 \\ I'(x)&=K'(x) \end{align*}\]

Vinningsoptimal produksjonsmengd når grensekostnaden er lik grenseinntekten.

Samanheng mellom grenseskostnad og einingskostnad

Veit at einingskostnaden er gitt ved \[E(x)=\frac{K(x)}{x}\]

Lågast einingskostnad finn me når \[E'(x)=0\]

\[\Updownarrow\] \[\left(\frac{K(x)}{x}\right)'= 0 \]

Deriverer og ser at

\[\left(\frac{K(x)}{x}\right)'= \frac{K'(x)\cdot x - K(x)\cdot 1}{x^2} = \frac{K'(x)\cdot x - K(x)}{x^2} =0\]

Likninga er 0 når teljaren er 0, dermed får me:

\[\begin{align*} K'(x)\cdot x - K(x) &= 0\\ K'(x)\cdot x &= K(x) \\ K'(x) &= \frac{K(x)}{x} \\ \end{align*}\]

Me har altså vist at ved den lågaste einingskostnaden er \[K'(x) = E(x)\]

Produksjonsmengden som gjev lågast einingskostnad har me når grensekostnaden er lik einingskostnaden

Etterspurnad

Pris heng saman med talet selde varer.
➡️ etterspurnad (etterspørsel)

Etterspurnad

Mange faktorar som speler inn. T.d. - pris - forbrukartestar - trendar

I modellane vidare er antall selde varer = etterspurnad

Brukar ofte \(q\) (quantity).

Ofte etterspurnad som funksjon av pris \[q(p)\]

Etterspurnad

Etterspurnadsfunksjonen \(q(p)\) viser talet varer som vert seld til prisen \(p\).

Inntekt, \(I(p)\), er \[I(p)=q(p)\cdot p\]

Merk: så lenge me går ut frå at talet selde og produserte er det same er \(q\) og \(x\) like store/det same.